Способ вспомогательных секущих. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Опубликовано: 24.08.2018

Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей, когда секущие (параллельные) плоскости при пересе­чении с данными поверхностями образуют простые линии (прямую или окружность).

13.2.1 Задание: даны поверхности конуса и цилиндра ф (рис. 13.3). Требуется построить линию их пересечения.

Решение: ось цилиндра перпендикулярна к плоскости П 2 , следо­вательно, поверхность цилиндра - проецирующая. В этом случае задача может быть решена так, как это было разобрано в предыдущем (п. 13.1.1) примере. Для этого определяют опорные - наивысшую и низшую точки 1 и 2, которые лежат на пересечении фронтальной про­екции цилиндра с очерковой образующей конуса. Их горизонтальные проекции 1 1 и 2 1 принадлежат горизонтальной проекции очерковой образующей конуса (l 1 и 2 1 , совпадают с осевой линией конуса). Точ­ки 3 и 4 определяют видимость линий пересечения на горизонтальной проекции. Для определения их горизонтальных проекций через ось цилиндра параллельно П 1 проводят вспомогательную секущую плос­кость Г (ее фронтальный след Г 2). Эта плоскость рассечет цилиндр по очерковым образующим, а конус по окружности радиусом R, которая на П 1 будет проецироваться в натуральную величину . Пересечение этой окружности с очерковыми образующими цилиндра есть не что иное, как горизонтальные проекции опорных точек 3 1 к 4 1 (рис. 13.3).

Построение промежуточных точек аналогично построению то­чек 3 и 4, только образующие, по которым вспомогательная плоскость будет рассекать цилиндр, не будут очерковыми (рис. 13.4).

13.3. Метод вспомогательных концентрических сфер

Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, когда их оси пересекаются и параллельны плоскости проекции. Точка пересечения осей принимается за центр вспомогательных концентрических секущих сфер.

13.3.1 Задание: Даны две поверхности вращения - конус и ци­линдр, оси которых пересекаются и находятся в одной плоскости, па­раллельной П 2 (рис. 13.5). Требуется построить линию их пересече­ния.

Решение: на фронтальной проекции фиксируют точки пересече­ния меридианов заданных поверхностей вращения 1 2 и 2 2 - они при­надлежат искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находятся на осевой линии конуса и цилиндра - 1, и 2,. Другие точки линии пересечения можно построить, используя кон­центрические сферические посредники, как вспомогательные секущие поверхности. Из точки пересечения осей фронтальных проекций, как из центра, проводятся сферы. Первая - касательная к проекции кону­са, а последующие - большим радиусом (рис. 13.6).

Каждая сфера пересекает обе поверхности по окружностям, фрон­тальные проекции которых изображаются отрезками прямых линий. Эти проекции пересекаются в точках, являющихся фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения поверхностей.

Горизонтальные проекции этих точек определяются по принад­лежности одной из поверхностей. В данном случае удобнее их полу­чать по принадлежности конусу. Например, точки 3 и 4 лежат на той же окружности, по которой вспомогательная сфера пересекает конус. Изменяя радиус вспомогательной секущей сферы, находят последова­тельный ряд точек линии пересечения, соединив которые, получают проекции искомой линии (рис. 13.6). Чтобы определить видимость го­ризонтальной проекции линии пересечения, на её фронтальной про­екции отмечают точки, лежащие на осевой линии цилиндра и принад­лежащие линии пересечения. Затем по линиям проекционной связи переносят их на очерковые образующие горизонтальной проекции цилиндра. Точки, лежащие ниже указанных, будут находиться на не­видимой части цилиндра.

5.6. Способ вспомогательных секущих плоскостей На рис 5.13 показано, что две криволинейные поверхности А и В пересекаются третьей секущей вспомогательной плоскостьюQ, Находят линии пересечения KL и MN вспомогательной поверхности с каждой из заданных. Точка Т пересечения построенных линий KL и MN принадлежат линии пересечения заданных поверхностей А и В. Повторяя такие построения многократно с помощью других вспомогательных поверхностей, находят необходимое число общих точек двух поверхностей для построения линии их пересечения. Сформулируем общее правило построения линии пересечения поверхностей: выбирают вид вспомогательных поверхностей; строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями; находят точки пересечения построенных линий и соединяют их между собой.

Вспомогательные секущие плоскости выбираем таким образом, чтобы в пересечении с заданными поверхностями получались геометрически простые линии (прямые или окружности). Пример. Построить линию пересечения конуса вращения и сферы (рис 5.14). Алгоритм решения; 1) К,СфТ(Q) 2) KTv=n; 3) Сф=m; 4) mn= 6-5 Выбираем вспомогательные секущие плоскости.Чаще всего, в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают проецирующие плоскости, в частности, плоскости уровня. При этом необходимо учитывать линии пересечения, получаемые на поверхности, в результате пресечения поверхности плоскостью. Так конус является наиболее сложной поверхностью по числу получаемых на нем линий. Только плоскости, проходящие через вершину конуса или перпендикулярные оси конуса, пересекают его соответственно по прямой линии и окружности (геометрически простейшие линии). Плоскость, проходящая параллельно одной образующей пересекает его по параболе, плоскость параллельная оси конуса пересекает его

По гиперболе, а плоскость, пересекающая все образующие и наклонные к оси конуса, пересекает его по эллипсу.

Рис 5.14

На сфере, при пересечеиии ее плоскостью, всегда получается окружность, а если пересекать ее плоскостью уровня, то эта окружность проецируется на плоскости проекции соответственно в прямую линию и окружность. Итак, в качестве вспомогательных плоскостей выбираем горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают и конус, и сферу по окружностям (простейшие линии). Построение начинают обычно с отыскания проекций характерных точек. Проекции 1 высшей и 2 низшей точек являются точками пересечения фронтальных проекций очерков, так как центр сферы и ось конуса лежат в плоскости, параллельной плоскости V. их горизонтальные 1, 2 и профильные 1""",2" про- екции находят в проекционной связи. Проекции 3",3",3"" и 4 // ,4 / ,4 / "", лежащие на экваторе

Сферы, находят с помощью горизонтальной плоскости Q(Qv), проходящей через центр сферы 0(0). Она пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса r q , в пересечении горизонтальных проекций которых и находят горизонтальные проекции 3 и 4 точек искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции 3 и 4 этих точек являются границами видимости участков линии пересечения на этой проекции. Проекции промежуточных точек, например 5,5",5 и 6,6,6, находят с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Т (Тv). Их построение ясно из чертежа. Аналогично построены другие точки. Профильные проекции точек линии пересечения строят по их фронтальной и горизонтальной проекциям, точки с проекциями 7,7,7 и 8,8,8" являются границами видимости участков профильной проекции линии пересечения. Ниже проекций 7 и 8"" профильная проекция линии пересечения видима. 5.7.Способ вспомогательных секущих сфер с постоянным

центром Известно, что если центр сферы находится на оси какой- нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получаются окружности AB,CD, EF, КL(,рис5.15).

Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения и положено в основу способа концентрических сфер, который применяют при следующих условиях: 1.0бе пересекающиеся поверхности- поверхности вращения. 2. Оси поверхностей пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных, (концентрических) сфер. 3.Плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть, параллельна плоскости проекции. Еслиэто условие не соблюдается, то чтобы его достигнуть, прибегают к способам преобразования чертежа. Пример. Определить линию пересечения двух конических поверхностей с пересекающимися осями (рис 5.16).

Построение начинаем с определения характерных точек А, В, С D, которые лежат во фронтальной плоскости, проходящей через плоскость симметрии поверхностей. Их фронтальные проекции А",В,С,D определяются пересечением главных меридианов. Далее определяем сферы R min и R max. Сфера R min определяется двумя способами: 1.Если образующие пересекающихся поверхностей прямые линии, то из центра 0 проводим перпендикуляры к образующим заданных поверхностей. Наибольший из этих перпендикуляров будет являться R min. 2. Если образующая хотя бы одной поверхности кривая линия, то R min находится подбором, т.е. сфера R min должна быть, вписана в одну поверхность и описана вокруг другой. Сфера R max - это расстояние от центра 0" до наиболее удаленной от него точки линии пересечения. В нашем случае это 0"В. Величина радиуса вспомогательных сфер для определения линии пересечения находим в пределах от R min = (О"М) до R max = (О В). Точка М определяется как точка касания окружности, проведенной к главному меридиану m 2 из центра О. Для определения линии L 2 -Rmax=О"С", R min =ОМ. Для определения точек N 1 и N 2 , принадлежащих линии 1 2 находим окружность (на фронтальной плоскости - прямая), по которой пересекаются конус  и сфера R min, и находим окружность (на фронтальной плоскости - прямая), по которой пересекаются конус  и сфера R min . на пресечении этих линий находим точки N 1 и N 2. Построив несколько сфер с центром в точке О, в промежутке, между R min и R max находим точки, принадлежащие линии пересечения Вторую проекцию линии пересечения строят исходя из условия принадлежности точек этой линии той или другой поверхности. Недостаток метода сфер 1) При построении должна соблюдаться графическая точность. 2) Линия пересечения строится на одной плоскости проекций. 5.8. Некоторые особые случаи пересечения поверхностей В некоторых случаях расположение, форма или соотношения размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пресечения никаких сложных построений не требуется. К ним относятся пересечение цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы. 5.8.1. Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы

В этом случае линиями пересечения поверхностей второго порядка являются две плоские кривые второго порядка, изображаемые на плоскости, параллельной осям поверхностей, в виде прямолинейных отрезков. Примеры изображения линии пересечения поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы рассмотрены на (рис 5.17). В случаях (ряс 5.17 а,б) поверхности двух цилиндров, конуса и цилиндра пересекаются по двум эллипсам с проекциями 12 и 34. В случае (; рис.5.17,в) пересечения конусов с вершинами S 1 и S 2 , у которых имеются две параллельные образующие, линии пересечения - из эллипс с проекцией 12 и парабола с вершиной в точке с проекцией 3. Рассмотренные примеры пересечения двух поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы, являются частными случаями,

Следующими теоремы Монжа: две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго порядка, плоскости которых проходят чрез прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. Пример, Построить линию пересечения конуса и цилиндра, описанных вокруг общей сферы ( рис 5.18).В соответствии с теоремой Г. Монжа линии пересечения конуса и цилиндра будут плоскими кривыми - эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми АВ иCD. Для решения этой задачи необходимо: 1) найти линию касания цилиндра и сферы (окружность, которая на плоскость V проецируется в прямую линию). 2) найти линию касания конуса и сферы (окружность,которая на плоскость V проецируется в прямую линию). 3) находим точку пересечения построенных линий. 4) проводим прямые, проходящие через точки пересечения очерковых образующих и точку пересечения линий касания заданных поверхностей с поверхностью сферы. Вторую проекцию линии пересечения строим исходя из условия принадлежности точек этой линии поверхности цилиндра или поверхности конуса.

Проекция линии касания (окружность) сферы и конуса. Проекция линии касания (окружность) сферы и цилиндра

6.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЯМИ

6.1.Общие сведения о пересечении поверхности плоскостью.

При пересечении любого тела е плоскостью получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением. Под сечением понимают ту часть секущей плоскости, которая находится внутри рассеченного тела и ограничена линией сечения. Линией сечения тела плоскостью является контур этого сечения, Плоскости, с помощью которых получается сечение, называют секущими. Фигура сечения многогранника - многоугольник, число сторон которого равно числу граней, пересекаемых плоскостью. Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения ребер с секущей плоскостью, а сторонами - линии пересечения граней с секущей плоскостью. Плоские сечения многогранников - замкнутые фигуры. В пересечении кривой поверхности плоскостью в общем случае получается плоская кривая линия (окружность, эллипс и т. п.). При пересечении линейчатых поверхностей плоскостями могут получаться, в частности, и прямые линии, если секущая плоскость направлена вдоль образующих (цилиндра, конуса и др.). Основным способом построения точек линии пересечения поверхности с плоскостью является способ вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательная плоскость пересекает секущую плоскость по прямой, а заданную поверхность по некоторой кривой или прямой линии. Точки пересечения этих линий и будут искомыми точками, принадлежащими поверхности и секущей плоскости. Построение проекций линии сечения поверхности плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость проецирующая. В этом случае одна из проекций линии сечения уже имеется на чертеже: она совпадает с проекцией плоскости. Остается лишь найти другие проекции этой линии. 6.2.Пересечение пирамиды с плоскостью Плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику. Если плоскость параллельна основанию пирамиды, в сечении получается фигура, подобная основанию. При построении линии пересечения

Пирамиды с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью или строят линии пересечения граней пирамиды с этой плоскостью. На рис.6.1 показано построение проекции линии сечения пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью  Фронтальная проекция линии сечения совпадает с фронтальной проекцией  v секущей плоскости. Горизонтальная и профильная проекции сечения находятся с помощью линий связи проведённых из точек 1 ... б до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих рёбер пирамиды.

Натуральная величина сечения определена способом замены плоскостей проекции. Так как сечение имеет фронтальную ось симметрии, при построении его натурального вида эта ось проведена параллельно  v . Для построения точек 1о...6о данного сечения использованы их размеры у. 6.3. Пересечение призмы с плоскостью При построении линии пересечения призмы с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью. Эту линию можно также построить, определяя линии пересечения отдельных граней призмы с плоскостью. В результате пересечения поверхности призмы плоскостью может быть получен прямоугольник (рис.6.2а), если эта плоскость параллельна боковым рёбрам призмы, или различного вида многугольники (рис.6.2 б,в.), если плоскость не па параллельна им Н

а рис 6.3 показано построение проекций линии сечения треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью  В сечении получен четырёхугольник ABCD, фронтальная проекция которого совпадает с фронтальной проекцией  v секущей плоскости. Точки А,В являются точками пересечения боковых рёбер призмы с плоскостью , а отрезок CD - линия пересечения верхнего основания призмы с этой плоскостью. Натуральный вид сечения Ао Во Со Do построен способом замены плоскостей проекций, для этого введена новая плоскость проекций,

параллельная плоскости о, и на эту плоскость спроецированы точкиA,B,C,D. Из проекций А, В", С D проведены линии связи, перпендикулярные к следу  v , и на свободном поле чертежа проведена линия Ао Do, параллельная  v . Эта линия принята за базу отсчёта размеров у на фигуре сечения потому, что прямая AD принадлежит фронтальной плоскости задней грани призмы, которую принимают за базовую. Точки Во и Со построены с помощью размеров у в и у с. 6.4. Пересечение цилиндра с плоскостью При пересечении цилиндра плоскостью фигура сечения будет зависеть от угла наклона плоскости по отношению к оси вращения.

Если секущая плоскость параллельна оси вращения (рис 6.4 а), в сечении цилиндра получится прямоугольник. Если плоскость перпендикулярна оси вращения (рис 6.4 , б), в сечении получится окружность. Когда секущая плоскость расположена под углом к оси вращения цилиндра, в сечении получается эллипс (рис 6.4 в) или его часть (рис 6.4", г).

Рис 6.4 На рис 6.5 показано построение проекций линиисечения цилиндра фронтально - проецирующей плоскостью  ( v). Линией пересечения является эллипс. Большая ось эллипса - АВ = А" "В" / , малая ось CD = СD - диаметр цилиндра. Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости Н. Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью а(а) проецируется на плоскость Н в окружность, на ней отмечают горизонтальные проекции точек А,1, С, 2, В", D", 2", 1" эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции А, \", С, В, 2 // , В на фронтальном следе  v секущей плоскости. Профильные проекции точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи. Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось CD которого в данном случае равна диаметру цилиндра, а малая ось АВ - профильная проекция отрезка АВ. Натуральный вид сечения построен способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо  A 2 B 2 , малая - отрезок CoDo  d. Эллипс может быть построен по его большой и малой осям.

6.5. Пересечение конуса с плоскостью В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые вершину конуса, в его сечении получается пара прямых - образующие конуса (рис 6.6, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность (рис 6.6, б).

Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться парабола (рис.6.6. в), гипербола (рис.6.6, г) или эллипс (рис.6.6.д,е). Если углы  (угол наклона образующей конуса к его оси) и  (угол наклона секущей плоскости к оси конуса) равны, т.е. секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, в сечении получается парабола (рис. 6.6, в). В этом случае секущая плоскость a ( av ) пересекает все образующие, кроме одной, которой она параллельна. Если секущая плоскость а ( a v), направленная под углом к оси вращения конуса, пересечет его так, что угол  будет меньше угла , то в сечении получится гипербола (рис.6.6 . г). В этом случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса. Эллипс получается в том случае, когда угол  между секущей плоскостью  ( ) и осью вращения больше, чем угол  между осью вращения и образующей конуса (рис.6.6. д, е), т.е. когда плоскость пересекает все образующие конуса. На рис.6.7 дано построение проекций линии сечения конуса фронтально - проецирующей плоскостью , когда в сечении получается эллипс. На фронтальной плоскости проекций V фигура сечения - эллипс - изобразится в виде прямой АВ, совпадающей с фронтальной проекцией   секущей плоскости. Эта прямая будет большой осью эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой и проходит через ее середину. Отрезок АВделят пополам и получают фронтальную проекцию малой оси в виде точки CD". Для нахождения горизонтальной проекции малой оси через нее проводят параллель, которая проецируется на горизонтальную плоскость проекции окружностью радиусаОТ . Точки 1 и 1  сечения принадлежат профильным очерковым образующим конуса.Ониотделяют видимую в профильной проекции часть l-C-A ""- D ""-1  " // сечения от невидимой 1-В -1  /// . Натуральная величина сечения AoBoCoDo построена способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо  А 2 В 2 , малая - отрезок CoDo  d. Наряду с построением эллипса по точкам возможно построение его по большой и малой осям.

Рис 6.6

Рис 6.7

6.6. Пересечение сферы с плоскостью Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, окружность сечения проецируется на эту плоскость проекций без искажения. Если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, проекциями окружности являются эллипсы. На рис 6.8 изображена сфера, пересеченная фронтально - проецирующей плоскостью (), которая пересекает сферу по окружности диаметра АВ = А В с центром в точкеO 1 (проекцияO 1  точка пересечения v с перпендикуляром, опущенным из проекции О" центра сферы на плоскости }. Горизонтальная и профильная

Проекции этой окружности представляют собой эллипсы, длины больших осей которыхСD и C  D "" равны величине диаметра окружности (А В""), малые оси эллипсов А  В" и А  В"" получают проецированием. Построение начинают с характерных точек. Точки А и В линии сечения принадлежат главному фронтальному меридиану, точки 2 и 2  находятся на экваторе сферы, точки 3 и 3  принадлежат главному профильному меридиану. Горизонтальные проекции Аи B / построены в проекционной связи на горизонтальной проекции главного фронтального меридиана по фронтальным проекциям А В Горизонтальные проекции 2 и 2  построены в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора. Проекции З"" и 3   строят по фронтальной проекции. Горизонтальные проекции (Cи D построены с

Помощью параллели KF радиуса ОК Горизонтальные проекции промежуточных точек 1 и 4 также построены с помощью параллелей. Профильные проекции точек построены по горизонтальным и фронтальным проекциям соответствующих точек. На горизонтальной проекции часть эллипса невидима. Точки 2 и 2   , отделяющие видимую часть эллипса от невидимой, находятся на экваторе. На профильной проекции видимость эллипса определяется с помощью проекций 3" и З  ", которые находятся на фронтальной проекции профильного очерка. Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения , то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.

Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей, когда секущие (параллельные) плоскости при пересе­чении с данными поверхностями образуют простые линии (прямую или окружность).

13.2.1 Задание: даны поверхности конуса и цилиндра ф (рис. 13.3). Требуется построить линию их пересечения.

Решение: ось цилиндра перпендикулярна к плоскости П 2 , следо­вательно, поверхность цилиндра - проецирующая. В этом случае задача может быть решена так, как это было разобрано в предыдущем (п. 13.1.1) примере. Для этого определяют опорные - наивысшую и низшую точки 1 и 2, которые лежат на пересечении фронтальной про­екции цилиндра с очерковой образующей конуса. Их горизонтальные проекции 1 1 и 2 1 принадлежат горизонтальной проекции очерковой образующей конуса (l 1 и 2 1 , совпадают с осевой линией конуса). Точ­ки 3 и 4 определяют видимость линий пересечения на горизонтальной проекции. Для определения их горизонтальных проекций через ось цилиндра параллельно П 1 проводят вспомогательную секущую плос­кость Г (ее фронтальный след Г 2). Эта плоскость рассечет цилиндр по очерковым образующим, а конус по окружности радиусом R, которая на П 1 будет проецироваться в натуральную величину. Пересечение этой окружности с очерковыми образующими цилиндра есть не что иное, как горизонтальные проекции опорных точек 3 1 к 4 1 (рис. 13.3).

Построение промежуточных точек аналогично построению то­чек 3 и 4, только образующие, по которым вспомогательная плоскость будет рассекать цилиндр, не будут очерковыми (рис. 13.4).

13.3. Метод вспомогательных концентрических сфер

Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, когда их оси пересекаются и параллельны плоскости проекции. Точка пересечения осей принимается за центр вспомогательных концентрических секущих сфер.

13.3.1 Задание: Даны две поверхности вращения - конус и ци­линдр, оси которых пересекаются и находятся в одной плоскости, па­раллельной П 2 (рис. 13.5). Требуется построить линию их пересече­ния.

Решение: на фронтальной проекции фиксируют точки пересече­ния меридианов заданных поверхностей вращения 1 2 и 2 2 - они при­надлежат искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находятся на осевой линии конуса и цилиндра - 1, и 2,. Другие точки линии пересечения можно построить, используя кон­центрические сферические посредники, как вспомогательные секущие поверхности. Из точки пересечения осей фронтальных проекций, как из центра, проводятся сферы. Первая - касательная к проекции кону­са, а последующие - большим радиусом (рис. 13.6).

Каждая сфера пересекает обе поверхности по окружностям, фрон­тальные проекции которых изображаются отрезками прямых линий. Эти проекции пересекаются в точках, являющихся фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения поверхностей.

Горизонтальные проекции этих точек определяются по принад­лежности одной из поверхностей. В данном случае удобнее их полу­чать по принадлежности конусу. Например, точки 3 и 4 лежат на той же окружности, по которой вспомогательная сфера пересекает конус. Изменяя радиус вспомогательной секущей сферы, находят последова­тельный ряд точек линии пересечения, соединив которые, получают проекции искомой линии (рис. 13.6). Чтобы определить видимость го­ризонтальной проекции линии пересечения, на её фронтальной про­екции отмечают точки, лежащие на осевой линии цилиндра и принад­лежащие линии пересечения. Затем по линиям проекционной связи переносят их на очерковые образующие горизонтальной проекции цилиндра. Точки, лежащие ниже указанных, будут находиться на не­видимой части цилиндра.

Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей, когда секущие (параллельные) плоскости при пересечении с данными поверхностями образуют простые для построения линии (прямую или окружность).

13.2.1. Задание: даны поверхности конуса и цилиндра Ф (рис. 13.3). Требуется построить линию их пересечения.

Решение: ось цилиндра перпендикулярна к плоскости П 2 , следовательно, поверхность цилиндра - проецирующая. В этом случае задача может быть решена так, как это было разобрано в предыдущем (п. 13.1.1) примере. Для этого определяют характерные - наивысшую и низшую точки линии пересечения 1 и 2 , лежащие на пересечении фронтальной проекции цилиндра с очерковой образующей конуса. Их горизонтальные проекции 1 1 и 2 1 принадлежат горизонтальной проекции очерковой образующей конуса (l 1 и 2 1 , совпадают с осевой линией конуса). Точки 3 и 4 определяют видимость линий пересечения на горизонтальной проекции.

Для определения их горизонтальных проекций через ось цилиндра параллельно П 1 проводят вспомогательную секущую плоскость Г (ее фронтальный след Г 2 ).

Эта плоскость рассечет цилиндр по очерковым образующим, а конус по окружности радиуса R , которая на П 1 будет проецироваться в натуральную величину. Пересечение этой окружности с очерковыми образующими цилиндра есть не что иное, как горизонтальные проекции характерных точек 3 1 и 4 1 (рис. 13.3).

Построение промежуточных точек аналогично построению точек 3 и 4, только образующие, по которым вспомогательная плоскость будет рассекать цилиндр, не будут очерковыми (рис. 13.4).

13.3.1. Задание: Даны две поверхности вращения - конус и цилиндр, оси которых пересекаются и находятся в одной плоскости, параллельной П 2 (рис. 13.5). Требуется построить линию их пересечения.

Решение: на фронтальной проекции фиксируют точки пересечения заданных поверхностей вращения 1 2 и 2 2 - они при­надлежат искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находятся на осевой линии конуса и цилиндра – 1 1 и 2 1 . Другие точки линии пересечения можно построить, используя концентрические сферические поверхности. Из точки пересечения осей фронтальных проекций, как из центра, проводятся сферы. Первая - касательная к проекции конуса, а последующие - большим радиусом (рис. 13.6).

Каждая сфера пересекает обе поверхности по окружностям, фронтальные проекции которых изображаются отрезками прямых линий. Эти проекции пересекаются в точках, являющихся фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения поверхностей.

Горизонтальные проекции этих точек определяются по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае удобнее их получать по принадлежности конусу. Например, точки 3 и 4 лежат на той же окружности, по которой вспомогательная сфера пересекает конус. Изменяя радиус вспомогательной секущей сферы, находят ряд точек линии пересечения, соединив которые, получают проекции искомой линии (рис. 13.6). Чтобы определить видимость горизонтальной проекции линии пересечения, на её фронтальной проекции отмечают точки, лежащие на проекции осевой линии цилиндра и принадлежащие линии пересечения.

Затем по линиям проекционной связи переносят их на очерковые образующие горизонтальной проекции цилиндра. Точки, лежащие ниже указанных, будут находиться на не­видимой части цилиндра.

rss